TEOREMA TITIK TETAP BERPASANGAN PADA RUANG METRIK BERNILAI KOMPLEKS

Abstract

ABSTRACT

A set that equipped with a metric called metric space and written by . Azzam, et al (2011) introduced a newer concept of metric space, that is complex valued metric space. Complex valued metric space is a generalization of the classical metric space. Azzam, et al (2011) also discussed about fixed point theorem on complex valued metric space. Fixed point is a point that map to the point it self. Then, the fixed point extend to a coupled fixed point. Coupled fixed point is a pair of point that are mapped to each pair of point element. The purpose of this research is to prove the existance and uniqueness of couple fixed point result in complex valued metric space. This research is conducted by construct a sequence of contractive F mapping in complex valued metric space. Next, prove that the sequence is a Cauchy sequence and convergent to coupled fixed point in F. Then, prove that F has a unique coupled fixed point. The result that obtained from this research is the mapping F in complex valued metric space that satisfies one of three inequalities with two coefficients and their sum less than one have a unique coupled fixed point.

Keywords: Metric, Metric Space, Complex Valued Metric Spaces, Fixed Point, Coupled Fixed Point

ABSTRAK

Himpunan yang dilengkapi dengan suatu metrik disebut ruang metrik dan dituliskan dengan . Azzam, dkk (2011) memperkenalkan konsep ruang metrik yang lebih baru, yaitu ruang metrik bernilai kompleks. Ruang metrik bernilai kompleks merupakan perumuman dari ruang metrik klasik. Selain itu, Azzam, dkk (2011) juga membahas tentang teorema titik tetap pada ruang metrik bernilai kompleks. Titik tetap merupakan suatu titik yang dipetakan ke dirinya sendiri. Kemudian, titik tetap mengalami perluasan menjadi titik tetap berpasangan. Titik tetap berpasangan adalah sepasang titik yang dipetakan ke masing-masing elemen pasangan titik tersebut. Tujuan dari penelitian ini adalah membuktikan eksistensi dan ketunggalan titik tetap berpasangan pada ruang metrik bernilai kompleks. Penelitian dilakukan dengan membentuk barisan dari pemetaan F yang kontraktif di ruang metrik bernilai kompleks. Selanjutnya, membuktikan bahwa barisan tersebut adalah barisan Cauchy dan konvergen ke titik tetap berpasangan di F. Kemudian membuktikan bahwa F memiliki titik tetap berpasangan yang tunggal. Hasil yang diperoleh dari penelitian ini adalah pemetaan F pada ruang metrik bernilai kompleks yang memenuhi salah satu dari tiga ketaksamaan dengan dua koefisien yang jumlahannya kurang dari satu memiliki titik tetap berpasangan yang tunggal.

Kata Kunci: Metrik, Ruang Metrik, Ruang Metrik Bernilai Kompleks, Titik Tetap, Titik Tetap Berpasangan.