EKSISTENSI SOLUSI PERSAMAAN PELL NEGATIF

Abstract

Persamaan Pell Negatif adalah persamaan diophantin nonlinier yang berbentuk 𝑥2−𝑑𝑦2=−1 dimana 𝑑 merupakan bilangan bulat positif bukan kuadrat sempurna. Tujuan penelitian ini adalah untuk mendapatkan syarat dari eksistensi solusi persamaan Pell negatif. Penelitian ini dilakukan dengan cara studi literatur dari berbagai sumber baik buku, artikel dan jurnal yang berkaitan dengan materi yang akan dibahas dan diteliti. Hasil dari penelitian ini adalah didapatkan syarat dari eksistensi solusi persamaan Pell Negatif yaitu: (i) 𝑛 berupa bilangan bulat positif ganjil sedemikian sehingga solusi positif dari persamaan 𝑥2−𝑑𝑦2=−1 adalah 𝑥=𝑝(2𝑘−1)𝑛−1 dan 𝑦=𝑞(2𝑘−1)𝑛−1. Dari solusi tersebut, 𝑝𝑘𝑞𝑘􀵗 merupakan kekonvergenan ke-𝑘 dari ekspansi pecahan kontinu √𝑑 dan 𝑛 adalah panjang periode dari ekspansi pecahan kontinu √𝑑 dengan 𝑝0=𝑎0; 𝑞0=1, 𝑝1=𝑎0𝑎1+1; 𝑞1=𝑎1, dan 𝑝𝑘=𝑎𝑘𝑝𝑘−1+𝑝𝑘−2;𝑞𝑘=𝑎𝑘𝑞𝑘−1+𝑞𝑘−2, 𝑘=2,3,… ; (ii) 𝑑≡1,2 (𝑚𝑜𝑑 4) dan (𝑥1,𝑦1) merupakan solusi fundamental dari persamaan 𝑥2−𝑑𝑦2=1 yang memenuhi 𝑥1≡−1 (𝑚𝑜𝑑 2𝑑).
Kata kunci : pecahan kontinu, persamaan Diophantin, Persamaan Pell, Persamaan Pell negatif.